REPRESENTAÇÃO DE FIGURA PLANAS A PARTIR DA SUA V.G.

Desenhe as projeções de um triângulo [PQR], situado no 1º diedro, sabendo:

- P é um ponto do β_1/3, com 2 cm da afastamento;

- o lado [PQ] é de topo e mede 4 cm;

- o lado [PR] é frontal, faz um diedro de 45⁰ (a.d.) com o plano horizontal de projeção e mede 5 cm.

Proposta de resolução:

Representa-se o ponto P pelas suas projeções.

O lado [PQ] é de topo (projetante frontal) pelo que os dois pontos têm as projeções frontais coincidentes.

Representa-se o segmento frontal [PR]. Com os 3 pontos representados é possível desenhar as projeções do triângulo [PQR].

Repare que  [PQ] e [PR] estão em V.G. (Verdadeira Grandeza), ao passo que [QR] é oblíquo e não está em V.G.

ALFABETO DA RETA

1) Retas paralelas aos planos de projeção:
a) Retas paralelas ao plano horizontal de projeção (todos os pontos têm a mesma cota):
. Reta horizontal (projeção frontal paralela ao eixo x e projeção horizontal faz um determinado ângulo com o mesmo eixo x);
- Reta de topo
- Reta fronto-horizontal é paralela aos 2 planos de projeção, pelo que as suas projeções (horizontal e frontal) são paralelas ao eixo x.

b) Retas paralelas ao plano frontal de projeção (todos os pontos têm o mesmo afastamento):
- Reta frontal (projeção horizontal paralela ao eixo x e projeção frontal faz um determinado ângulo com o mesmo eixo x);
- Reta vertical (projeção horizontal reduzida a um ponto - exemplo: (r1) e projeção frontal perpendicular ao eixo x. Também se pode designar por reta projetante horizontal, uma vez que as projeções horizontais de todos os pontos são coincidentes;
- Reta fronto-horizontal é paralela aos 2 planos de projeção, pelo que as suas projeções (horizontal e frontal) são paralelas ao eixo x.

2) Retas oblíquas aos planos de projeção:
- Reta oblíqua que tem as suas projeções oblíquas em relação ao eixo x;
- Reta de perfil que tem as suas projeções perpendiculares ao eixo x. Esta reta alé das suas projeções necessita de 2 pontos ou de 1 ponto e 1 direção para ser corretamente representada e identificada;
- Reta passante (oblíqua ou de perfil) cujas projeções se cruzam no eixo x. No caso da reta oblíqua passante as projeções cruzam-se no eixo x e a reta de perfil contém obrigatoriamente um ponto do eixo x.

TESTE DE 18/10/2011 - Proposta de resolução

1.       Desenhe as projeções dos pontos que se seguem e localize-os no espaço.

A(2;3;1);      B(-5;-3;3);      C(-3;2;2);      D(4;1;-1);      E(5;0;2);      F(-2;0;0);      G(0;3;0)

2.       É dado um ponto M(2;6).

a) Desenhe as projecções do ponto M.

b) Escreva as coordenadas e desenhe as projecções de um ponto N, simétrico de M em relação ao Plano Frontal de Projecção.

c) Escreva as coordenadas e desenhe as projecções de um ponto O, simétrico de N em relação ao Plano Horizontal de Projecção.

d) Escreva as coordenadas e desenhe as projecções de um ponto P que se situa na mesma recta projectante horizontal de M e que pertence ao Plano Horizontal de Projecção.

e) Escreva e desenhe as projecções de um pontoQ que se situa na mesma projectante frontal de N e pertence ao β_1/3.

3.       Desenhe as projeções da recta oblíqua r.

Dados:

- a recta r contém o pontoI do β_2/4, com 2 cm de abcissa e 4 cm de cota;

- a projeção frontal da recta rfaz um ângulo de 30⁰ (a.e.) com o eixo x;

- a recta rinterseta o plano horizontal de projeção no ponto H,  com 5 cm de afastamento;

Determine o traço frontal da reta r. Indique o percurso da reta no espaço ao nível dos diedros e represente, a traço interrompido, as suas invisibilidades.

4.       Desenhe as projeções da recta oblíqua s.

- a recta s contém os pontos A(1;4;5) e B(-2;4;-1);

Determine os pontos notáveis e indique o percurso da reta ao nível dos diedros e octantes. Justifique a inexistência de algum dos pontos notáveis

 

5.       Desenhe as projeções da reta oblíqua r e determine os seus pontos notáveis, sabendo que:

-a reta r contém o ponto A(3;-5;3) e o ponto B, com -2 cm de afastamento e -4 cm de cota;

- a projeção horizontal da reta rfaz um ângulo de 50⁰ (a.e.) com o eixo x.

TESTE DE 18/10/2011 DO 10 AV1

Caros alunos o teste terá a seguinte estrutura:

- Representação de pontos e sua localização no espaço;
- Representação de pontos pertencentes a uma reta projetante e pontos simétricos;
- Representação da reta e determinação dos pontos notáveis;
- Representação da reta e indicação do seu percurso no espaço ao nível dos diedros e/ou dos octantes.


Bom estudo.

BOAS FÉRIAS

Caros alunos desejo que tenham boas férias.

No próximo ano letivo teremos trabalho muito mais aturado, pois há exame. Conto com todos para a implementação do blogue como projeto de estudo, uma vez que a título experimental foi claramente positivo. Más há várias coisas a corrigir.
Aproveitem bem essas férias. Se quiserem fazer alguns exercícios aqui ficam uns links:

http://www.paraescolar.pt/geometria-descritiva-10/guia-de-estudo-geometria-descritiva-a-10-ano?id=9571744&idAno=8957&indep=0&tema=

http://www.aproged.pt/
 
http://www.gd.elisiosilva.com/exercicios_gd.html

Teste de 07.06.2011 ... Proposta de resolução

Proposta de resolução do teste sumativo, de GD A do 10AV1, de 07.06.2011:

1.    Determine as projeções dos pontos I e Q, que são os traços de uma reta de perfil p nos planos bissetores, respetivamente, dos diedros pares e ímpares.

Dados:

– a reta p contém os pontos A e H;

– o ponto A tem abcissa nula, -3 cm de afastamento e 5 cm de cota;

– o ponto H pertence ao plano horizontal de projeção e tem 7 cm de afastamento.

2.   Construa uma representação diédrica de uma pirâmide triangular oblíqua, de vértice V, situada no 1º diedro, com a base assente no plano frontal de projeção. Identifique a traço interrompido as arestas invisíveis do sólido.

Dados:

– a base da pirâmide é o triângulo equilátero [ABC];

– o vértice A tem abcissa nula e 9 cm de cota;

– a aresta [AB] é vertical e o vértice B tem 2 cm de cota;

– o vértice C é o que se situa mais à direita;

– as arestas laterais [AV] e [BV] da pirâmide, medem, respectivamente, 6 cm e 7 cm;

– o vértice V tem -3 cm de abcissa.

3.      Determine as projeções do ponto I de interseção da recta h com o plano de rampa ρ.

Dados:

– a reta h é horizontal, contém o ponto A(2;1;3) e faz um ângulo de 30⁰ (a.d.) com o plano frontal de projeção no 1º diedro;

– o plano ρ contém o ponto P(7;3;2) e o seu traço frontal tem 5 cm de cota.

4.      Desenhe as projeções de uma circunferência e de um triângulo equilátero nela inscrito, situados no1º diedro e contidos num plano de topo θ.

Dados:

– o plano θ faz um didero de 60⁰ (a.d.) com o plano horizontal de projeção e interseta o eixo x no ponto de abcissa nula;

– a circunferência é tangente ao plano frontal de projeção e o seu centro é o ponto O(3;4);

– o triângulo equilátero tem um ponto de afastamento nulo.

Questão de aula nº 6

Determine as projeções de um prisma quadrangular regular, situada no 1º diedro e com as bases contidas em planos verticais.

Dados:
– o quadrado [ABCD] é a base de menor afastamento do sólido e o seu centro é o ponto O do β_1,3, com -4 cm de abcissa e 4 cm de afastamento;

– o vértice A dessa base tem 3 cm de afastamento e 7 cm de cota;

– as arestas laterais do prisma fazem ângulos de 45⁰ (a.e.) com o plano frontal de projeção e medem 6 cm.

Questão de aula nº 5

Desenhe as projeções do pentágono regular [ABCDE], contido num plano vertical δ e situado no 1º diedro.

Dados:

– o plano δ faz um diedro de 60⁰ (a.d.) com o plano frontal de projeção e interseta o eixo x no ponto de abcissa nula;

– o pentágono está inscrito numa circunferência com 3 cm de raio, cujo centro é o ponto O(4;5);

– o lado [AB] é um segmento vertical e é o lado de maior afastamento da figura.

T.P.C. para 07.06.2011

Devem ser realizados em casa os exercícios nº 536 e 538 do livro de exercícios, para apresentação (como T.P.C.) no dia 07.06.2011.

Bom trabalho.

Questões de aula nº 5 e 6

As questões de aula nº 5 e 6, de GD A do 10AV1, realizam-se no dia 31 de Maio de 2011, abordando os seguintes conteúdos programáticos:

- Figuras planas II (contidas em planos projetantes não paralelos aos planos de projeção);

- Sólidos II (com bases contidas em planos projetantes).

Teste sumativo de GD A do 10AV1 de 24.05.2011

1.      Determine as projeções dos pontos M e N resultantes da interseção de uma reta p com uma circunferência com ela complanar.

Dados:

- a reta e a circunferência estão ambas contidas num plano de perfil π;

- a reta p contém o ponto A, com 6 cm de afastamento e 10 cm de cota, e interseta o plano horizontal de projeção no ponto H, com 1 cm de afastamento;

- a circunferência é tangente ao plano horizontal de projeção e o seu centro é o ponto O, com 5 cm de afastamento e 4 cm de cota.

2.      Represente uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1º diedro.

Dados:

- a base é o quadrado [ABCD], contido num plano vertical α cujo traço horizontal faz um ângulo de 45⁰ com o eixo x, de abertura para a direita;

- o quadrado está inscrito numa circunferência com centro no ponto O(0;4;6) e 3,5 cm de raio;

- o vértice A do quadrado tem -1 cm de abcissa e é o vértice de maior cota;

- a pirâmide tem 6 cm de altura.

3.      Desenhe as projeções da recta i, de interseção do plano oblíquo β com o plano de rampa ρ. 

Dados:

- os traços do plano β cruzam-se num ponto de abcissa nula e fazem ângulos de 45⁰ com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda;

- o plano ρ está definido pelas rectas fronto-horizontais a e b;

- a recta a tem 2 cm de afastamento e 4 cm de cota;

- a recta b contém o ponto B(-5;4;3).

4.      Represente o retângulo  [ABCD], situado no1º diedro.

Dados:

– o ponto A(-1;2;3) e o ponto B, com 1 cm de abcissa, são dois vértices consecutivos do retângulo;

– o retângulo está contido num plano vertical δ, cujo traço horizontal faz um ângulo de 45⁰ com o eixo x (abertura para a esquerda);

– o lado [AB] está contido numa reta cujas projeções, horizontal e frontal, são paralelas entre si;

– os lados maiores do retângulo medem 7 cm.

Estrutura parcial do teste

Estrutura parcial do teste de 24 de Maio de 2011 de GDA - 10AV1:

- Um exercíciode interseções;
- Uma figura plana contida num plano projetante, não paralelo aos planos de projeção;
- Um sólido com base contida num plano vertical, de topo ou perfil;
- Exercício não identificado (??????????????????????).

BOM ESTUDO.

Desafio - representação de sólidos II

Desenhe as projeções de uma pirâmide quadrangular regular situada no 1.º diedro, sabendo que:
- a base da pirâmide é o quadrado [ABCD], contido num plano horizontal (de nível) com 1cm de cota;
- o vértice A tem abcissa nula e pertence ao plano frontal de projeção;
- a aresta [AB] de base, faz um ângulo de 30º (a.d.) com o plano frontal de projeção e o vértice B tem -5 cm  de abcissa;
- as arestas laterais da pirâmide medem 7 cm.

- Determina-se o quadrado da base. A partir do ponto A e do ângulo de [AB] é fácil representar o quadrado;

- Depois de ter a base é necessário rebater (através do plano vertical que contém duas arestas laterais) para determinar a cota de V. O afastamento de V é o mesmo do centro da base.

- Com o vértice V é fácil representar a pirâmide.

Aula de 23.05.2011

Caros alunos a aula de 23.05.2011 será destinada ao esclarecimento de dúvidas de preparação para o teste sumativo.

BOA PÁSCOA

Olá a todos. Espero que estejam a passar umas boas férias e que a PÁSCOA seja FELIZ.

Prof. A.COSTA

Teste de 29.03.2011 e correção

Teste de 29.03.2011 e proposta de resolução:

1.       Determine as projeções da reta oblíqua a, contida no plano oblíquo α definido pelos seus traços.

Dados:
- o plano α  contém o ponto P(-3;-4;5);

- o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 45⁰ (abertura para a esquerda) e interseta o mesmo eixo x num ponto com -6 de abcissa;

- o traço horizontal da reta a tem 6 cm de afastamento e o traço frontal tem 7 cm de cota.

2.       Represente um prisma quadrangular regular, situado no 1º diedro e com bases contidas em planos horizontais.

Dados:

-  a diagonal [AF] de uma face lateral do prisma está contida na reta r pertencente ao plano bissetor dos diedros ímpares;

-  a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 30⁰, de abertura para a direita, com o eixo x, intersetando-o num ponto com 4 cm de abcissa;

- o extremo A da diagonal tem 2 cm de afastamento e o extremo F tem 5 cm de cota.

3.       Desenhe as projeções  de uma pirâmide triangular oblíqua, situada no 1º diedro e com a base contida num plano horizontal. Identifique a traço interrompido as arestas invisíveis do sólido.

Dados:

– a base da pirâmide é o triângulo [ABC] com 7 cm de lado;

– o vértice A pertence ao plano frontal de projeção e tem 2 cm de abcissa e 7 cm de cota;

– a aresta [AB] faz, com o plano frontal de projeção, um ângulo de 45⁰, de abertura para a direita;

– a face lateral [ABV] está contida num plano vertical;

– o vértice V da pirâmide tem abcissa nula e pertence ao plano horizontal de projeção.

Determine o lugar geométrico do sólido que tem 4 cm de cota.

4.       Determine as projeções do elemento geométrico resultante da interseçao dos planos α, θ e ρ.

Dados:

– os traços horizontal e frontal do plano fazem, respetivamente, ângulos de 60⁰ (a.d.) e 40⁰ (a.e.) com o eixo x e intersetam-se num ponto com -3 de abcisssa;

– os planos θ e ρ são de rampa;

– os traços horizontal e frontal têm, respectivamente, 4 cm de afastamento e 3 cm de cota;

       – o traço horizontal do plano ρ tem -7 cm e o traço frontal tem 7 cm de cota.

Exercício de interseções

Determine as projeções do elemento geométrico resultante da interseção dos plano α, θ e ρ.
Dados:
- os planos α e θ são oblíquos;

-os traços do plano α fazem ambos ângulos de 45⁰ (a.e.) com o eixo x e intersetam-no num ponto com -6 cm de abcissa;

- o plano θ contém o ponto P(0;0;2) e R(2;2;0) e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o eixo x;

- o plano ρ é frontal e tem 3 cm de afastamento.

Passos de resolução:

- Determina-se a interseção de 2 planos de cada vez;

- Da interseção das retas obtidas conseguimos o lugar geométrico pedido (pode ser uma reta, um ponto próprio ou um ponto impróprio situado no infinito).
Resultado:
 A reta b é a interseção do plano frontal ρ (aparece na resolução como fi) com o plano oblíquo α. A reta a é a interseção  do plano frontal ρ (aparece na resolução como fi) com o plano oblíquo θ (aparece na resolução como gama). Das duas retas resultou o ponto I de intersecção das retas a e b.

Estrutura parcial do teste de 29.03.2011

Caros alunos, o teste de 29.03.2011 terá uma estrutura próxima do seguinte:

- Exercício com interseções;

- Exercício com sólidos de bases frontais ou horizontais;

- Exercício com sólido e determinação de um lugar geométrico ou determinação dos traços do plano de uma face;

- Exercício não divulgado (pelo menos para já) ---NOVO  poderá ser pedida a representação de um ponto ou uma reta (horizontal, frontal ou oblíqua) pertencente a um plano oblíquo.

Apelo aos alunos que se inscrevam no blogue o mais rápido possível.

ALTERAÇÃO ... Questão de aula de 21.03.2011

A questão de aula foi alterada para o dia 24.03.2011 será baseada na representação de sólidos com bases assentes em planos paralelos aos planos de projeção (horizontais ou frontais).

Bom fim de semana e bom trabalho.

Exercício - sólidos

Determine as projeções de um prisma triangular oblíquo, situado no 1º diedro, de acordo com as dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.
Dados:
- as bases do prisma são triângulos equiláteros contidos em planos horizontais;
- os pontos A(0;5;3) e B, com 4 cm de abcissa e 1 cm de afastamento, são vértices da base [ABC];
- o vértice D, com -3 cm de abcissa e 10 cm de afastamento, é um dos extremos da aresta lateral [AD];
- a altura do prisma mede 7 cm.

Representação de um cone oblíquo

Represente pelas suas projeções um cone oblíquo, de base frontal e situado no 1º diedro.
- o centro da base é o ponto Q(-3;1;4) e o vértice é o ponto V(2;7;3);
- a base tem 3,5 cm de raio.
Represente as projeções das geratrizes do contorno aparente horizontal e as projeções das geratrizes do controno aparente frontal.

Traços do plano que contém uma face

Exercício 217 do manual.
Determine os traços do plano α que contém a face [BCV] da pirâmide triangular regular, com 6 cm de altura e situada no 1º diedro.
Base: triângulo equilátero [ABC] contido num plano horizontal. A(2;1;2) e B(-2;2;2) são dois vértices da base.

TPC de 01.03.2011

Caros alunos, não esqueçam dos TPC que englobam os exercícios até ao nº 212 na página 239 do manual da disciplina.

Correção do teste de 24.02.2011

1.       Determine as projecções da recta horizontal r, contida no plano oblíquo α, definido pelos seus traços.

Dados:

- o plano oblíquo α é definido pelos pontos F(3;0;5), H(3;2;0) e P;

- o ponto P tem abcissa nula, 3 de cota e pertence ao bissector dos diedros ímpares (β_1,3);

      - a recta r intersecta o plano frontal de projecção num ponto, F, com 2 de abcissa.

 

A reta b passa por opção pelos pontos F e P, mas outras soluções eram admitidas, como por exemplo passar a reta por H e P.

2.       Determine as projecções do ponto I de intersecção do plano oblíquo β com a recta t.

Dados:

-  o plano β contém o ponto P(0;3;6) e a recta h, definida pelos pontos M(4;3;2) e N(-1;6;2)

-  a recta t é de topo, tem -3 de abcissa e 4 de cota.

A reta h' é paralela à reta h, mas poderia ser concorrente com a reta h. Em relação à reta m que passa por I e P foi por opção, pois existiam diversas soluções, como por exemplo uma reta horizontal pertencente ao plano e concorrente com a reta t no ponto I.

3.       Determine as projeções da reta de interseção, i, dos planos de topo α e oblíquo β.

Dados:

– o plano de topo interseta o eixo x num ponto com 5 cm de abcissa e faz, com o plano horizontal de projeção, um diedro de 60⁰ de abertura para a direita;

– o plano oblíquo β é definido por uma reta de perfil p e pelo ponto C(0;3;3);

– a reta de perfil p contém os pontos A(8;8;3) e B(8;3;8).

Pelos pontos A, B e C havia outras soluções para retas de modo a definir o plano pelos seus traços. 
O plano de topo é projetante frontal pelo que  f_β≡ i_{2 e} i_{1 fica definido por F e H.}

4.      Desenhe as projecções de um retângulo [ABCD] contido num plano frontal e situado no 1º diedro.

Dados:

– o centro da circunferência circunscrita ao retângulo é o ponto M(0;4;4);

– uma das diagonais da figura é vertical;

– o vértice A pertence ao plano horizontal de projeção e o vértice B tem -3 cm de abcissa;

– o lado [AB] é um dos lados maiores do retângulo.

O centro da circunferência é o ponto M mas surge nesta resolução como o ponto O, o que não interfere em nada a resolução do exercício.
A atenção maior deveria ser dada ao lado maior do retângulo [AB] que obrigava o ponto B a subir até ao limite superior da circunferência.

Exercício de planos oblíquos

Determine o ponto N, de concorrência dos traços do plano oblíquo α com o eixo x.

 Dados:

-  o plano oblíquo α é definido pelos pontos A(0;7;-2), B(4;-8;8) e C(-4;4;2).