DESAFIOS - INTERSEÇÃO DE PLANOS

Determine as projeções da reta i de intersecção de um plano passante ρ com um plano oblíquo θ.
Dados:
O plano ρ  é passante e contém o ponto K(-3;4;3);
O plano oblíquo θ tem os seus traços coincidentes e corta o eixo x num ponto com 1 cm de abcissa;
O traço frontal do plano θ faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x.

 Breves passos:

• Representou-se o plano passante ρ e o plano oblíquo θ (traços coincidentes) a partir dos seus dados;
• Pelo ponto K passou-se um plano horizontal (poderia ter sido frontal) e determinou-se a sua interseção com o plano oblíquo (reta a) e com o plano passante (reta b);
• O ponto de concorrência das duas retas (a e b) é o ponto I que nos permite representar a reta i de interseção com dos planos passante ρ e oblíquo θ. Note que a reta i é passante, pelo que além do ponto I deve passar pelo ponto do eixo x onde se cruzam os traços do plano oblíquo θ. 

Determine as projecções do elemento geométrico resultante da intersecção dos planos  α, β e ϕ.
Dados:
-  os planos α e β  são oblíquos;
-  o plano α  intersecta o eixo x num ponto N com -6 de abcissa e os seus traços fazem ambos ângulos de 45º  (a.e.) com o eixo x;
- o plano β  contém os pontos P(0;0;2) e R(2;0;0) e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x;
-  o plano ϕ é frontal e tem 3 cm de afastamento.

 Breves passos:

• Representaram-se os planos  α, β e ϕ a partir dos seus dados;
• Determinou-se a interseção do plano frontal ϕ com cada um dos outros dois planos (retas a e b);
• O ponto I, de interseção das retas a e b é o ponto comum aos três planos, sendo por isso o seu lugar geométrico.

Desenhe as projecções da reta i, de intersecção do plano oblíquo β com o plano de rampa ρ. 

Dados:

- os traços do plano β cruzam-se num ponto de abcissa nula e fazem ângulos de 45º com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda;

- o plano ρ está definido pelas retas fronto-horizontais a e b;
- a reta a tem 2 cm de afastamento e 4 cm de cota;
- a reta b contém o ponto B(-5;4;3).

 

 Breves passos:

• Representou-se o plano oblíquo β, a reta fronto-horizontal a e o ponto B a partir dos seus dados;
• Determinaram-se os traços do plano de rampa ρ com recurso a uma reta auxiliar (aleatória) concorrente com a reta a e a passar no ponto B;
• A partir dos traços dos dois planos (representados a azul) determinaram-se os traços da reta i de interseção dos dois planos;
• A partir dos traços da reta representou-se a reta i, tida como objetivo do exercício.

Determine as projeções de um prisma triangular oblíquo, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Identifique as arestas invisíveis do sólido a traço interrompido.
Dados:
- as bases do prisma são triângulos equiláteros contidos em planos horizontais;
- os pontos A(0;5;3) e B, com  4 cm de abcissa e 1 cm de afastamento, são vértices do triângulo da base [ABC];
- o vértice D, com -3 cm de abcissa e 10 cm de afastamento, é um dos extremos da aresta lateral [AD];
- a altura do prisma mede 7 cm.

Breves passos:

•  Representaram-se os pontos A e B da base triangular [ABC] e o plano horizontal que contém essa base;
• Representou-se a projeção horizontal do ponto D a partir da abcissa e afastamento dados e a sua projeção frontal partindo da altura do sólido;
• Determinou-se a base [DEF];
• Representou-se o sólido pelas suas projecções.

O quadrado equilátero [ABCD], contido num plano horizontal, é a base de uma pirâmide quadrangular oblíqua.
Dados:
- o quadrado [ABCD] está inscrito numa circunferência cujo centro é o ponto O(0;6;7);
- o vértice A tem abcissa nula e 2 cm de afastamento e tem cota inferior a A;
 - o vértice V, do sólido, tem a mesma a abcissa de B e pertence ao eixo x.
a) Represente a pirâmide pelas suas projeções, identificando as arestas invisíveis a traço interrompido.
b) Determine os traços do plano oblíquo que contém a face [ADV].

Breves passos:

• Representaram-se os pontos O e A e determinou-se a base triangular [ABC], contida no plano frontal ϕ ;
•  A partir do vértice V representou-se a pirâmide oblíqua. Note que o vértice V tem afastamento e cota nulos (e a mesma abcissa de B);
• Atendendo a que a face [ADV] contém três retas  que passam pelos três pontos foi fácil determinar os traços do plano oblíquo β  que contém essa face. Note que a reta r é frontal, pelo que o traço frontal é paralelo a r2. As duas retas restantes são passantes em V, pelo que os traços do plano passam por V.