ESTRTUTURA DO TESTE DE 13-03-2012

• Interseção de planos (podem ser 2 exercícios);
• Sólidos;
• ????

DESAFIOS - INTERSEÇÃO DE PLANOS

Determine as projeções da reta i de intersecção de um plano passante ρ com um plano oblíquo θ.
Dados:
O plano ρ  é passante e contém o ponto K(-3;4;3);
O plano oblíquo θ tem os seus traços coincidentes e corta o eixo x num ponto com 1 cm de abcissa;
O traço frontal do plano θ faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x.

 Breves passos:

• Representou-se o plano passante ρ e o plano oblíquo θ (traços coincidentes) a partir dos seus dados;
• Pelo ponto K passou-se um plano horizontal (poderia ter sido frontal) e determinou-se a sua interseção com o plano oblíquo (reta a) e com o plano passante (reta b);
• O ponto de concorrência das duas retas (a e b) é o ponto I que nos permite representar a reta i de interseção com dos planos passante ρ e oblíquo θ. Note que a reta i é passante, pelo que além do ponto I deve passar pelo ponto do eixo x onde se cruzam os traços do plano oblíquo θ. 

Determine as projecções do elemento geométrico resultante da intersecção dos planos  α, β e ϕ.
Dados:
-  os planos α e β  são oblíquos;
-  o plano α  intersecta o eixo x num ponto N com -6 de abcissa e os seus traços fazem ambos ângulos de 45º  (a.e.) com o eixo x;
- o plano β  contém os pontos P(0;0;2) e R(2;0;0) e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x;
-  o plano ϕ é frontal e tem 3 cm de afastamento.

 Breves passos:

• Representaram-se os planos  α, β e ϕ a partir dos seus dados;
• Determinou-se a interseção do plano frontal ϕ com cada um dos outros dois planos (retas a e b);
• O ponto I, de interseção das retas a e b é o ponto comum aos três planos, sendo por isso o seu lugar geométrico.

Desenhe as projecções da reta i, de intersecção do plano oblíquo β com o plano de rampa ρ. 

Dados:

- os traços do plano β cruzam-se num ponto de abcissa nula e fazem ângulos de 45º com o eixo x, ambos de abertura para a esquerda;

- o plano ρ está definido pelas retas fronto-horizontais a e b;
- a reta a tem 2 cm de afastamento e 4 cm de cota;
- a reta b contém o ponto B(-5;4;3).

 

 Breves passos:

• Representou-se o plano oblíquo β, a reta fronto-horizontal a e o ponto B a partir dos seus dados;
• Determinaram-se os traços do plano de rampa ρ com recurso a uma reta auxiliar (aleatória) concorrente com a reta a e a passar no ponto B;
• A partir dos traços dos dois planos (representados a azul) determinaram-se os traços da reta i de interseção dos dois planos;
• A partir dos traços da reta representou-se a reta i, tida como objetivo do exercício.

Determine as projeções de um prisma triangular oblíquo, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Identifique as arestas invisíveis do sólido a traço interrompido.
Dados:
- as bases do prisma são triângulos equiláteros contidos em planos horizontais;
- os pontos A(0;5;3) e B, com  4 cm de abcissa e 1 cm de afastamento, são vértices do triângulo da base [ABC];
- o vértice D, com -3 cm de abcissa e 10 cm de afastamento, é um dos extremos da aresta lateral [AD];
- a altura do prisma mede 7 cm.

Breves passos:

•  Representaram-se os pontos A e B da base triangular [ABC] e o plano horizontal que contém essa base;
• Representou-se a projeção horizontal do ponto D a partir da abcissa e afastamento dados e a sua projeção frontal partindo da altura do sólido;
• Determinou-se a base [DEF];
• Representou-se o sólido pelas suas projecções.

O quadrado equilátero [ABCD], contido num plano horizontal, é a base de uma pirâmide quadrangular oblíqua.
Dados:
- o quadrado [ABCD] está inscrito numa circunferência cujo centro é o ponto O(0;6;7);
- o vértice A tem abcissa nula e 2 cm de afastamento e tem cota inferior a A;
 - o vértice V, do sólido, tem a mesma a abcissa de B e pertence ao eixo x.
a) Represente a pirâmide pelas suas projeções, identificando as arestas invisíveis a traço interrompido.
b) Determine os traços do plano oblíquo que contém a face [ADV].

Breves passos:

• Representaram-se os pontos O e A e determinou-se a base triangular [ABC], contida no plano frontal ϕ ;
•  A partir do vértice V representou-se a pirâmide oblíqua. Note que o vértice V tem afastamento e cota nulos (e a mesma abcissa de B);
• Atendendo a que a face [ADV] contém três retas  que passam pelos três pontos foi fácil determinar os traços do plano oblíquo β  que contém essa face. Note que a reta r é frontal, pelo que o traço frontal é paralelo a r2. As duas retas restantes são passantes em V, pelo que os traços do plano passam por V.

TESTE DE 14/02/2012

Enunciado e proposta de resolução:

1.      Determine as projeções da reta horizontal r, com 2 cm de cota, pertencente ao plano oblíquo β, definido pelos seus traços (frontal e horizontal).

Dados:

-  o  plano β é  definido  pelos  pontos  A(4;7;2), B(0;-2;7) e  C(0;7;-2).

2.      Desenhe as projeções de duas figuras planas sobrepostas, sendo uma delas um octógono regular, [ABCDEFGH] e a outra um retângulo, [PQRS], assentes em planos frontais.

Dados sobre o octógono:

- está contido num plano frontal e o seu centro é o ponto O(1;4;5);

- um dos vértices da figura é o ponto A, com 1,5 cm de abcissa e 8,5 cm de cota.

Dados sobre o retângulo:

- está contido no plano frontal de projeção;

- o ponto P é o vértice situado mais à esquerda e pertence à reta de topo que contém o ponto A;

- a diagonal [PR] do retângulo é fronto-horizontal e mede 8 cm;

- o vértice S tem 5 cm de cota e o lado [PS] é um dos lados menores do retângulo..

3.      Represente um prisma pentagonal regular, situado no 1º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

Dados:

– as bases do prisma estão contidas em planos de perfil;

– a base situada mais à direita está inscrita numa circunferência com centro no ponto O(1;4;6);

– a aresta lateral do prisma que contém o vértice A da referida base tem 2 cm de afastamento, 8 cm de cota e mede 6cm.

4.      Represente uma pirâmide quadrangular oblíqua, de base frontal e de vértice V, situada no 1º diedro.

Dados:

- a base é o quadrado [ABCD], que está inscrito numa circunferência com centro no ponto M, o qual tem abcissa nula, 5,5 de cota e pertence ao bissector dos diedros ímpares (β_1,3);

- o vértice A tem 4 cm de abcissa e 4 cm de cota;

- o vértice B é o de menor cota;

- a aresta lateral [AV] é horizontal;

- a aresta lateral [BV] é de perfil e o vértice V pertence ao plano frontal de projecção.

Represente as invisibilidades a traço interrompido.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Desenha as projeções de um prisma quadrangular oblíquo, com as bases contidas em planos de perfil.
Dados:
- uma das bases do prisma é o quadrado [ABCD], inscrito numa circunferência de centro O(6;3;3);
- o vértice A tem 3 cm de afastamento e cota nula;
- o centro da outra base é o ponto O' pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares, com abcissa nula e 6 cm de afastamento.

Represente um cone oblíquo, de base circular, situado no 1º diedro.

Dados:

-  a base do cone está contida num plano frontal φ, com centro no ponto O(-3;1;5);

-  o ponto A, com -3 de abcissa e 8 de cota, é um ponto da circunferência da base;

- a geratriz [AV] do cone é horizontal;

- o vértice V tem 3 cm de abcissa e pertence ao plano bissector dos diedros ímpares (β_1,3).

Determine as projecções do ponto P com 1,5 cm de abcissa e que pertence ao contorno aparente horizontal.

ESTRUTURA PARCIAL DO TESTE de 14.02.2012

Conteúdos a avaliar:

- FIGURAS PLANAS SOBRESPOSTAS;
- SÓLIDOS I (bases contidas em planos horizontais, frontais ou de perfil);
- DETERMINAÇÃO DE TRAÇOS DE UM PLANO (OU RELAÇÕES DE PERTENÇA);
- ????

Saudações,

Prof. A.Costa

QUESTÃO DE AULA Nº 3

Desenhe as projeções de um triângulo equilátero [ABC] e de um pentágono regular [PQRST] contidos em planos horizontais, sendo dados:
Triângulo:
- os lados do triângulo medem 6 cm;
- o ponto A(-1;6;5) é o vértice de menor abcissa do triângulo;
- o lado [AB] é fronto-horizontal e o vértice C tem menor afastamento que [AB].
Pentágono:
- o pentágono está inscrito numa circunferência com 3,5 cm de raio, cujo centro O tem 2 cm de cota e pertence à reta vertical que contém o ponto A;
- o lado de maior afastamento do pentágono é paralelo ao lado [AB] do triângulo.

Desenhe as projeções de um triângulo equilátero [ABC] e de um pentágono regular [PQRST] contidos em planos frontais, sendo dados:
Triângulo:
- os lados do triângulo medem 6 cm;
- o ponto A(-1;5;6) é o vértice de menor abcissa do triângulo;
- o lado [AB] é fronto-horizontal e o vértice C tem menor cota que [AB].
Pentágono:
- o pentágono está inscrito numa circunferência com 3,5 cm de raio, cujo centro O tem 2 cm de afastamento e pertence à reta de topo que contém o ponto A;
- o lado de maior cota do pentágono é paralelo ao lado [AB] do triângulo.

FIGURAS SOBREPOSTAS - DESAFIOS

Desenhe as projeções de dois quadrados [ABCD] e [EFGH] contidos em planos horizontais, sendo dados:
Quadrado [ABCD]:
- o centro do quadrado é o ponto O(0;5;2)
- o vértice A tem -3,5 cm de abcissa  e 3 cm de afastamento.

Quadrado [EFGH]:
- o ponto E do β1/3, com -3,5 de abcissa e 6 cm de afastamento é o vértice de maior afastamento do quadrado;

- a diagonal [EG] da figura é de topo e mede 6 cm.


Desenhe as projeções do triângulo isósceles [ABC] e do hexágono regular [EFGHIJ], contidos em planos horizontais, sendo dados:
Triângulo:
- o ponto A é o vértice de maior abcissa do triângulo e tem 4 cm de abcissa e 6 cm de afastamento; o lado [AB] mede 5 cm e pertence ao β1/3;
- o vértice C tem afastamento nulo.
Hexágono:
- o centro do hexágono tem 3 cm de cota, e pertence à reta vertical que contém o ponto B do triângulo;
- o vértice E pertence à reta vertical que contém o centro do triângulo.

Solução em  http://www.paraescolar.pt/Exercicio-249

Veja o site: http://www.paraescolar.pt/geometria-descritiva-10/guia-de-estudo-geometria-descritiva-a-10-ano?id=9571744&idAno=8957&indep=0&tema=

QUESTÃO DE AULA DE 24/01/2012

A questão de aula de 24/01/2012 abordará a representação diédrica de figuras planas sobrepostas.

Bom trabalho !!!

EXERCÍCIO 147 - FIGURAS PLANAS SOBREPOSTAS

Desenhe as projeções de duas figuras planas sobrepostas, um triângulo equilátero e um hexágono regular, contidas em planos horizontais, sendo dados:.

Triângulo:
- o triângulo [ABC] inscreve-se numa circunferência com 4 cm de raio, tangente ao plano frontal de projeção (plano XZ) e cujo centro tem 3 cm de cota;
- o lado [AB] do triângulo faz, com o plano frontal de projeção, um ângulo de 45º (a.d.) e B é o vértice de maior afastamento do triângulo.

Hexágono:
- o hexágono regular [DEFGHI] está contido num plano horizontal com 6 cm de cota;
- o vértice D, do hexágono, situa-se na mesma projetante horizontal do centro da circunferência circunscrita ao triângulo;
- o centro da circunferência circunscrita ao hexágono é o ponto Q, que se situa na mesma projetante horizontal do vértice B do triângulo;
- o vértice E situa-se à esquerda de D.

Breve descrição dos passos seguidos:

 - representa-se o centro O do triângulo, com 4 de afastamento e 3 de cota;

- representa-se o traço frontal do plano horizontal que contém o triângulo;

- o lado [AB] faz um diedro de 45º (a.d.) pelo que se desenhou um diâmetro (a passar no centro) com o mesmo ângulo. Determinaram-se os 3 vértices do triângulo equilátero;

- desenhou-se as projeções do vértice D (que se situa na mesma projetante horizontal de O) e do centro Q da circunferência circunscrita ao hexágono  (que se situa na mesma projetante horizontal de B);

- determinaram-se os restantes vértices do hexágono e desenharam-se as suas projeções, tendo em conta que o plano horizontal tem 6 cm de cota;

- o triângulo fica parcialmente invisível (invisibilidades representadas a traço interrompido), uma vez que o plano que o contém tem cota inferior ao plano horizontal que contém o hexágono.

Note que a representação das duas projeções das figuras planas devem ser sublinhadas com um traço mais escuro (na imagem aparece a vermelho)que o resto do desenho .

BOM TRABALHO !!!

VOTOS DE BOAS FESTAS E BOAS FÉRIAS

Caros alunos desejo que tenham umas BOAS FESTAS e BOAS FÉRIAS.

Aguaradam-vos tempos de muito trabalho. Por isso ... bom descanso a todos.

Saudações,

Prof. A.Costa

TESTE EXTRAORDINÁRIO DE 09.12.2011

 Enunciado e proposta de resolução:

1.      Determine as projeções da reta horizontal r, pertencente ao plano oblíquo α, definido pelos seus traços.

Dados:

– o plano oblíquo α é definido pelos pontos F(3;0;5) e H(3;2;0) e P;

– o ponto P tem abcissa nula, 3 cm de cota e pertence ao bissetor dos diedros ímpares (β_1/3);

– a reta r interseta o plano frontal de projeção no ponto F, com 2 cm de abissa.

2.      Determine as projeções da reta i contida no plano oblíquo α definido pelos seus traços.

Dados:

– o plano oblíquo α contém um ponto do eixo x com 4 cm de abcissa;

– o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 45⁰ com o eixo x (de abertura para a direita);

– a reta i contém o ponto P(-4;3;4) e é uma das retas de maior inclinação do plano α.

3.      Determine as projeções do ponto P contido no plano oblíquo α.

Dados:

– o plano α contém o ponto A(-2;5;8) e o ponto B, pertencente ao plano bissetor dos diedros pares  (β_2/4), com 4 cm de abcissa e 3 cm de cota;

– o traço frontal do plano α faz um ângulo de 60⁰ com o eixo x (abertura para a esquerda);

– o ponto P pertence ao plano horizontal de projeção e tem 3 cm de afastamento.

4.      Determine as retas i e i’, respectivamente de interseção de um plano θ com o β_1/3 e β_2/4.

Dados:

– o plano θ contém as retas oblíquas paralelas, r e s;

– a reta r contém os pontos A(4;2;3) e B (1;-1;4);

– a reta s contém o ponto C(1;3;1). 

TESTE SUMATIVO DE 06/12/2011

Enunciado e proposta de resolução:

1.      Determine as projeções do ponto Q pertencente ao plano oblíquo α, definido pelos seus traços.

Dados:

– o plano oblíquo α é definido pelo ponto X, do eixo x, com 4 cm de abcissa e por uma reta horizontal h;

– a reta h contém o ponto A(-2;4;3) e a sua projeção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45⁰, com abertura para a direita;

– o ponto Q pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares, β_1/3 e tem 6 cm de cota.

2.      Determine as projeções da reta d contida no plano oblíquo α definido pelos seus traços.

Dados:

– o plano oblíquo α contém um ponto do eixo x com 4 cm de abcissa;

– o traço frontal do plano α faz um ângulo de 40⁰ com o eixo x (de abertura para a direita);

– a reta d contém o ponto P(-4;3;4) e é uma das retas de maior declive do plano α.

3.      Desenhe as projeções do triângulo [ABC], contido no plano oblíquo α, definido pelos seus traços.

Dados:

– os traços horizontal e frontal do plano α fazem, respectivamente, ângulos de 30⁰ (a.e.) e 45⁰ (a.e.) com o eixo x e intersectam-se num ponto com -6 cm de abcissa;

– o vértice A tem 1 cm de afastamento e 4 cm de cota e o vértice B tem 3 cm de afastamento e 2 cm de cota;

– o lado [BC] é frontal e o vértice C tem 5 cm de cota.

4.      Determine as projeções da reta oblíqua a contida no plano oblíquo α.

Dados:
– o plano α contém o ponto P(-3;-4;5);

– o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 45⁰ (a.e.) com o eixo x e interseta o mesmo eixo num ponto com -6 cm de abcissa;

– o traço horizontal (H) da reta a tem 6 cm de afastamento e o seu traço frontal (F) tem 7 cm de cota.

TESTE SUMATIVO DE 07/12/2011

Exercícios de preparação:

Determine as projeções da reta oblíqua a contida no plano oblíquo α. 

Dados:
–  os traços do plano α fazem ângulos de 45⁰ (a.e.) e de 35⁰ (a.e.), respetivamente o traço horizontal e frontal;

– o traço horizontal (H) da reta a tem 4 cm de afastamento e o seu traço frontal (F) tem 5 cm de cota .

      Desenhe as projecções da recta d contida no plano oblíquo α definido pelos seus traços.

Dados:

– o plano oblíquo α contém duas rectas frontais paralelas f e f’;

–  a  recta  f contém o ponto S(0;1;2) e faz um ângulo de 45⁰ (a.d.) com o plano horizontal de projecção;

–  a recta f’ contém o ponto R(1;5;5);

– a recta d contém o ponto R e é uma recta de maior declive do plano oblíquo α.

Um plano θ, está definido por duas retas oblíquas paralelas, r e s. A reta r contém os pontos A(2;2;3) e B(-1;-1;4). A reta s contém o ponto C(-1;3;-1). 

Determine as projeções de i e i’, respetivamente as retas de intersecção de θ com o β_1/3  e β_2/4.

Desafio:

Determine os traços do plano oblíquo α.

Dados:

– o plano oblíquo α que contém as retas, r e s, concorrentes num ponto N(7;0;0);

– a  reta  r contém o ponto R(0;3;4);

– o ponto S(0;6;2) pertence à reta s.

QUESTÃO 2 ... 22.11.2011

Determine as projeções da reta n, contida no plano oblíquo α.

- o plano oblíquo α é definido pelo ponto A(6;2;7) e pela reta r;

- a reta r contém os pontos B(0;5;-5) e C(-4;-4;4);

- a reta n é horizontal e é concorrente com a reta r no ponto C.

Proposta de resolução:

QUESTÃO 1 A

Desenhe as projeções de uma figura empenada [ABCD], existente do 1º diedro, sabendo:

- A(2;2);

- o segmento [AB]  é frontal, faz com ν_o (PHP) um ângulo de 60⁰ (a.e.) e mede 6 cm;

- C está na mesma projetante frontal de B e BC=7 cm;

- o segmento [CD]  é horizontal, faz com ϕ_o (PFP) um ângulo de 45⁰ (a.e), mede 8 cm e D tem menor afastamento.
Proposta de resolução: